Análise combinatória

Fórmulas

• Permutação

  $$P_n=n!$$

  Quando usar: Ordenar todos os n elementos (filas, anagramas sem repetir letra).

  $P_n$

  o número de permutações de n elementos

  $n$

  quantos elementos

  $n!$

  fatorial: n·(n−1)·…·2·1; 0! = 1

• Arranjo

  $$A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!}$$

  Quando usar: Escolher p de n e a ORDEM importa (pódio, senha, cargos).

  $A_{n,p}$

  o número de arranjos

  $n$

  quantos há para escolher

  $p$

  quantos você escolhe

  $n!$

  fatorial de n

• Combinação

  $$C_{n,p}=\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}$$

  Quando usar: Escolher p de n e a ordem NÃO importa (comissão, grupo, aposta).

  $C_{n,p}$

  o número de combinações (também escrito C(n,p))

  $\binom{n}{p}$

  outra notação: "n escolhe p"

  $n$

  quantos há para escolher

  $p$

  quantos você escolhe

  $!$

  fatorial: multiplica até 1

• Permutação com repetição

  $$P_n^{a,b}=\frac{n!}{a!\,b!}$$

  Quando usar: Anagramas com letras repetidas: divida pelas trocas que não mudam nada.

  $P_n^{a,b}$

  permutações de n elementos com repetições a e b

  $n$

  total de elementos

  $a, b$

  quantas vezes cada elemento repetido aparece

  $!$

  fatorial

Como o ENEM cobra

Senhas, placas, cardápios, anagramas, formação de times e comissões. A pergunta central é sempre se trocar a ordem gera uma possibilidade nova.

Exemplo resolvido

1. 1

   Trocar a ordem dos escolhidos não cria comissão nova: é combinação.

2. 2

   Se a ordem importasse: $8\cdot 7\cdot 6=336$.

3. 3

   Cada grupo foi contado $3!=6$ vezes: $336\div 6=56$.

Resposta: 56 comissões

Pegadinhas

• Presidente e vice: cargos diferentes, então a ordem importa (arranjo).

• Letras repetidas: anagramas de ARARA são $\frac{5!}{3!\,2!}=10$, não 120.

• Zero na frente: números de 3 algarismos não começam com 0.