Função exponencial e logaritmo

Fórmulas

• Crescimento

  $$N(t)=N_0\cdot q^{\,t/T}$$

  Quando usar: Algo que multiplica pelo mesmo fator a cada período (bactérias, meia-vida).

  $N(t)$

  a quantidade no tempo t

  $N_0$

  a quantidade inicial

  $q$

  o fator por período (2 dobra, 1/2 cai à metade)

  $t$

  o tempo passado

  $T$

  a duração de um período, na mesma unidade de t

• Definição de log

  $$\log_b a=x\iff b^x=a$$

  Quando usar: Achar o expoente: "b elevado a quanto dá a?".

  $\log_b a$

  logaritmo de a na base b

  $b$

  a base (sem número escrito, é 10)

  $a$

  o resultado da potência (logaritmando)

  $x$

  o expoente procurado

• Propriedades

  $$\log(a\,b)=\log a+\log b\qquad \log a^n=n\log a$$

  Quando usar: Transformar produto em soma e potência em multiplicação.

  $\log$

  logaritmo na base 10

  $a, b$

  números positivos

  $n$

  o expoente que "desce" multiplicando

Como o ENEM cobra

Bactérias, população, meia-vida de remédio ou material radioativo, escala de terremotos e pH. Quando o expoente é a incógnita, o ENEM costuma dar o valor de um log no enunciado.

Exemplo resolvido

1. 1

   Quantas vezes dobrou: $8000\div 500=16=2^4$.

2. 2

   Foram 4 dobras.

3. 3

   Tempo: $4\cdot 3=12$ horas.

Resposta: 12 horas

Pegadinhas

• Período de dobra: dobrar a cada 3 h é $2^{t/3}$, não $2^t$.

• Crescer não é linear: em 6 h a cultura fica 4 vezes maior, não 2 vezes.