Razão e proporção

Fórmulas

• Proporção

  $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a\cdot d=b\cdot c$$

  Quando usar: Duas razões iguais com um valor faltando: multiplique cruzado.

  $a, b$

  a primeira razão (a sobre b)

  $c, d$

  a segunda razão (c sobre d)

  $\iff$

  "é o mesmo que": vale nos dois sentidos

• Diretamente proporcionais

  $$y=k\,x$$

  Quando usar: Uma grandeza dobra e a outra dobra junto (preço e quantidade).

  $x$

  a grandeza que você muda

  $y$

  a grandeza que acompanha

  $k$

  a constante: quanto vale y para cada 1 de x

• Inversamente proporcionais

  $$x\cdot y=k$$

  Quando usar: Uma dobra e a outra cai pela metade (operários e dias).

  $x, y$

  as duas grandezas

  $k$

  o produto que nunca muda

• Divisão proporcional

  $$\text{parte}_i=\text{total}\cdot\frac{p_i}{p_1+p_2+\dots+p_n}$$

  Quando usar: Dividir um total em partes com pesos (lucro entre sócios).

  $\text{parte}_i$

  o que cabe ao i-ésimo

  $\text{total}$

  o valor a dividir

  $p_i$

  o peso de quem você quer (investimento, idade…)

  $p_1+\dots+p_n$

  a soma de todos os pesos; n é quantos são

Como o ENEM cobra

Quase sempre num contexto do dia a dia: receita, mistura, consumo de combustível, divisão de lucro entre sócios. O ENEM pede para reconhecer se a relação é direta ou inversa antes de qualquer conta.

Exemplo resolvido

1. 1

   Some os pesos: $2+3+4=9$ partes.

2. 2

   Valor de uma parte: $1800\div 9=200$.

3. 3

   Quem tem 3 partes recebe $3\cdot 200=600$.

Resposta: R$ 600

Pegadinhas

• Inversa disfarçada: mais torneiras enchem o tanque em menos tempo. Montar como direta dá a resposta errada.

• Ordem da razão: "razão entre meninos e meninas" é meninos sobre meninas, não o contrário.

• Unidades diferentes: compare g com g e min com min antes de montar a proporção.